ریاضیات کاربردى در فیزیک

مسعود ناصرى

برخلاف ریاضیات محض، ریاضیات کاربردى بحثى دقیق (و شاید بدون ایراد) نیست و میزان دقت اصول و تعاریف به کار گرفته شده در ساختار هر شاخه متناسب همان کاربرد است. بعنوان مثال، تا آنجائی که به واقعیت جهان فیزیکی مربوط می شود اصلا چیزی به عنوان خط راست، منحنی صاف و پیوسته (analytic)، دایره، بیضی، مخروط، کره، مکعب و .. وجود ندارد و کاملا روشن است که شکل ها و توپولوژی موجودات بسیار پیچیده تر از آن هستند که بتوان آنها را با اشکال هندسی ساده ای مانند هندسه اقلیدسى و حتى هندسه ریمانى و یا حساب و آنالیز (calculus/anslysis) توصیف نمود. هیچ ستاره و کهکشانی کروی نیست، هیچ رودخانه ای خط راست یا منحنی صاف نیست، هیچ کوهی مخروط نیست، هیچ ابری در آسمان و هیچ درخت و گل و گیاهی شکل هندسی خاصى ندارد. با این حساب، استفاده از تعاریف و اشکال ساده هندسه اقلیدسی/ریمانى و حساب هرچند که اطلاعات بسیار ارزشمندی در شناخت جهان به دستمان می دهد ولی باید انتظار داشت که توصیف ارائه شده از جهان فیزیکى بر پایه این شاخه هاى ریاضى تقریبی باشد.

از طرفى، تا آنجائى که به خود ریاضیات محض نیز مربوط مى شود (که دقیقتربن و زیباترین دانش بشر و تنها ابزار شناخت واقعى ما از جهان است)، به کارگیرى مفاهیم و تعاریف بنیادى آن در علوم کاربردى با واقعیت فیزیکی ملموس ما همخوانى چندانى ندارد. مثلا، طبق تعریف، “نقطه” نه بعد دارد و نه حجم و اصلا نمی توان آنرا یک “چیز” به حساب آورد و یا در این جهان “چیزی” که بتوان به آن “نقطه” عنوان داد وجود ندارد. با درکنار هم قرار گرفتن این نقطه های بدون بعد “خط یک بعدى” به دست مى آید که تصور وجود فیزیکى براى آن راحت نیست. همچنین، طبق تعریف، تعداد “نقطه”هایی که محیط دایره مثلا یک سانتی متر قطر را می سازند مساویست با تعداد “نقطه” های دایره ای که قطر آن چند میلیارد کیلومتر است. به عبارت دیگر، تعداد نقطه های تمام دایره هایی که می توان تصور کرد باهم مساوی هستند. باید پرسید که آیا در جهان فیزیکی چیزی به اسم دایره (و کره) وجود دارد؟ جواب منفى است و بنابراین عدد پی (۳٫۱۴) را که از دوران دبستان با آن آشنا شده ایم تنها یک مفهوم ابستراکت مانند نقطه و خط در ریاضیات محض است و به کار گرفتن آن براى توصیف جهان فیزبکى ما را از واقعیت دور و محاسبات مان را همراه با تقریب مى کند. البته این تقریب نه تنها ایرادى در کاربردهای مهندسی (و دیگر علوم کاربردى که تقریب در ذات آنهاست) ندارد بلکه ضرورى نیز مى باشد. (یادآورى کنیم که مقدار عدد پى نامعین است و هنوز ارقام بعد از ممیز آن را بطور قطعی نمى شناسیم.)

اینها مواردی هستند که هرچند خللى در استحکام و زیبائى ریاضیات محض ایجاد نمى کنند ولى دلالت بر نارسا و ناکامل بودن ریاضیات کاربردى در توصیف واقعیت جهان فیزیکى دارند. البته باید اضافه کنیم که علاوه بر تعاریف ناسازگار با واقعیت فیزیکی جهان، مشکلات اساسی خاصى هم بطور نهادینه در ساختار ریاضیات اصولى (axiomatic) وجود دارند. از آن جمله، وجود نقاط تکینه (مانند تقسیم عدد بر صفر) و یا دردسر ناهمخوانی (inconsistency) حاکم بر سیستم اصولی هیلبرت (Hilbert’s axiomatic system) که اولین بار در اوایل قرن بیستم توسط کورت گودل (Kurt Gödel) در قالب قضیه گودل (Gödel theorem) عنوان شد و ناکامل بودن (incomplete) ساختار چنین ریاضیاتى را مطرح کرد. بعدا این مشکل توسط تورینگ (Alan Turing) در قالب Turing halting problem و گریگوری چایتین (Gregory Chaitin) در قالب راندوم بودن در ریاضیات محض (Randomness in pure math) تایید گردید.

بطور خلاصه، از آنجائى که شاخه های گوناگون علوم کاربردى هر یک به شکلی از ریاضیات کاربردى بهره می گیرند متقاعدمان مى کند که امروزه این علوم تنها می توانند توصیفی تقریبی (و گاه شاید ناقص و حتی نادرست) از واقعیت جهان و پدیده های آن ارائه کنند و تا زمانی هم که مشکلات بالا وجود دارند نباید مطمئن شد که بتوان “واقعیت جهان” را آنگونه که هست تعریف کرد.

در میان رشته های مختلف علوم، بخصوص فیزیک به عنوان مهمترین ابزار شناخت جهان شدیدا وابسته به این ریاضیات است و در حقیقت فیزیک تئوری امروز چیزی نیست مگر ریاضیات کاربردی. بنابراین هر نقص و مشکلى که در ریاضیات کاربردى باشد طبعا به فیزیک منتقل می گردد و نباید از آن انتظار داشت که ساختار و پدیده های جهان را بدون تقریب بیان کند. شاید به همین دلیل هم هست که هر از گاهی یک تئوری جدید در فیزیک متولد می شود که تنها در محدوده خاصی عمل مى کند و در مدتی نه چندان طولانی هم با تئوری جدیدتر و نسبتا کاملتری جایگزین می گردد که آن نیز محدوده کاربرد خاص خود را دارد. نکته دیگر اینکه با وجودى که اغلب این تئوری ها به خودی خود موفق هستند ولی باهم سر ناسازگاری دارند. مثلا تئوری نیوتن تحولی بنیادین در فیزیک و بخصوص مهندسى به وجود آورده است ولی ظهور تئوری نسبیت نشان داد که تئوری نیوتن تنها در محدوده دنیای سرعت های کم کارآیی دارد. همچنین، همزمان با تئوری نسبیت، تئوری مهم دیگر قرن بیستم با عنوان تئوری کوانتوم پا به عرصه وجود گذاشت که آن نیز تنها در محدوده دنیای فوق العاده ریز اتمی و کوچکتر کارآیی دارد و در عین موفقیت عظیمش (بخصوص در کابردهائى مانند الکترونیک دیجیتالی، رادیو، رادار، لیزر، اینترنت، کامپیوتر، .. ) در مواردی با تئوری نسبیت ناسازگاری دارد (مثلا طبق تئوری نسبیت هیج چیز یا اطلاعاتی نمی تواند سریعتر از نور جابجا شود در حالی که در تئوری کوانتوم این محدودیت سرعت وجود ندارد). ملاحظه می شود که دو تئوری بسیار موفق در محدوده خاص خودشان، با هم ناسازگارند.

گفتنی است که در ۱۰۰ و اندی سال که از ظهور این دو تئوری می گذرد هنوز هیچ تئوری جدیدی که در حد این دو تئوری دگرگونساز باشد پیدا نشده است و نظر به اینکه تعداد فیزیکدانان و محققین در قرن گذشته نسبت به قرن ۱۹ هزاران برابر افزایش داشته است، این ناتوانی در یافتن تئوری جامعتری از نسبیت و کوانتوم ایرادى است که فیزیک باید جوابگو باشد. البته، دهه هشتاد میلادى شاهد ظهور “تئوری ریسمان” (String Theory) شد که نوید دستیابی به تئوری نهایی اى که فیزیک سرسختانه به دنبال آنست را می داد لیکن امروز فیزیکدان ها چندان در این خوش بینی اشتراک نظر ندارند و حتی عده اى از متخصصین تئوری ریسمان بر علیه آن مقاله و کتاب می نویسند و از جمله آنها Peter Woit در کتاب Not Even Wrong (که یکى از سرشناسان فیزیک نظرى به نام Roger Penrose در تایید این کتاب مطلب نوشته است) اعلام می دارد که تئوری ریسمان اصلا ارزش مطرح شدن به عنوان یک تئوری فیزیک را ندارد چه به اینکه بخواهیم درستى آنرا مورد قضاوت قرار دهیم و مثلا نتیجه بگیریم که نادرست است.

شاید اگر بنا بر یافتن تئوری جدیدی که مکمل نسبیت و کوانتوم هست باشد که بتواند واقعیت جهان را بدون تقریب توصیف کند لازم است که تجدید نظر اساسی در ریاضیات کاربردی در فیزیک داشته باشیم و مثلا هرچند حساب (claculus) ابزاری مفید برای کاربردهای مهندسی است ولى به نظر مى آید که به تنهائى به درد فیزیک نمی خورد و باید با ابزار ریاضی جدیدی تکمیل گردد. خوشبختانه تئوری ریاضى آشوب (chaos theory) کاندیداى مناسبى در این مرحله مى باشد. از مهمترین توانائى هاى این تئورى امکان مطالعه فرآیند هاى غیرخطى است که فیزیک تا امروز سعى در نادیده گرفتن آنها داشته است (و در صورت اجبار با فرآیند خطى سازى و لذا بطور تقریبى به مطالعه آنها پرداخته است). همچنین، تئورى آشوب می تواند با دیدگاه فراکتالی خود توصیف دقیقتری از ساختار و شکل فضازمان و پدیده های آن آنگونه که در طبیعت ساهد آن هستیم ارائه کند.

درخاتمه، چارچوب کار ما در آکادمی ناصری بر روی تئورى آشوب و به کارگیرى آن در فیزیک نظری و بیولوژی تمرکز دارد.

دیدگاه بگذارید

avatar
  اشتراک در  
اطلاع از